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不等式2 (251)

1   じゅー  [id : P9kXFs91] [2013-01-26(土) 21:18:20] 削除依頼

不等式の次スレですよ

245   prime_132  [id : 6R8LRK41] [2016-11-08(火) 03:01:36] 削除依頼

〔相加-相乗平均〕
(a_1)^n+(a_2)^n+……+(a_n)^n− n・a_1・a_2……a_n
=Σ[i<j] (a_i-a_j)^2 P_(i,j)

P_(i,j)={1/(n-1)}Σ[k=0,n-2] {ai^(k+1)−aj^(k+1)}/(ai-aj)・Q_(n-2-k)(i,j)

Q_L(i,j)は、aiとajを除く(n-2)文字によるL次の基本対称式を、その項数C[n-2,L]で割ったもの。
Q_0=1,

246   prime_132  [id : 6R8LRK41] [2016-11-08(火) 03:05:37] 削除依頼

(注)
{ai^(k+1)−aj^(k+1)}/(ai−aj)=(ai)^k+(ai)^(k-1)・aj+……+ai・(aj)^(k-1)+(aj)^k,

Hurwitzの恒等式とか、Muirheadの恒等式とか、云うらしい。

247   prime_132  [id : HW3yUQsn] [2017-01-10(火) 08:04:42] 削除依頼

>>244
yはxとzの中間にあるとする。
 (x-y)(y-z) ≧ 0,
このとき
 xx+yy+zz -(xy+yz+zx) = (x-y)^2 + (x-y)(y-z) + (y-z)^2,
 x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min{|x-y|,|y-z|},
辺々掛けて
 x^3+y^3+z^3 - 3xyz
 ≧ (|x-y|+|y-z|)^3
 = |x-z|^3
 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|.

248   ななし  [id : HW3yUQsn] [2017-01-10(火) 08:16:35] 削除依頼

〔問題916〕
a,b,cを和が3となる正の実数とするとき、次を示せ。
 √{b/(aa+3)} + √{c/(bb+3)} + √{a/(cc+3)} ≦ 3/2,

rio2016,2ch,net/math/ 不等式スレ7、916~

249   ななし  [id : HW3yUQsn] [2017-01-10(火) 08:24:01] 削除依頼

>>248

・注意1
a=b=0、c=3 のとき
 {(b+1)/√(aa+3) + (c+1)/√(bb+3) + (a+1)/√(cc+3)}/2 = 11/(4√3) = 1.58771324

・注意2
a = b = 0.29712745268(*)、c = 2.40574509464 のとき
 2/(aa+3) + 2/(bb+3) + 2/(cc+3) = 1.522810546608

(*) 2a^3 -7a^2 +12a -3 = 0 の根
(**) c^3 -2c^2 +9c -24 = 0 の根

・注意3
a = 0.818145 b = 0.823310 c = 1.358545 のとき
 (2√b)/(a+3) + (2√c)/(b+3) + (2√a)/(c+3) = 1.500059562452

250   ななし  [id : HW3yUQsn] [2017-01-11(水) 12:45:12] 削除依頼

〔問題〕
a,b,cを正の実数とするとき、次を示せ。

[2] a + √(ab) ≦ {(1+√2)/2}(a+b),

[3] a + √(ab) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)(a+b+c),

・Carleman 不等式(改)

251   ななし  [id : HW3yUQsn] [2017-01-12(木) 11:27:32] 削除依頼

a,b,c,dを正の実数とするとき、

[4] a + √(ab) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ K(4)(a+b+c+d),
 K(4) = 1.4208443854096138127

相乗-相加平均をたした形ですが・・・・


名前:

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P(x) (122)

1   ?さと  [id : 6FMlmY21] [2006-01-08(日) 20:42:53] 削除依頼

整式P(X)をx−1で割ると3あまり、その商をさらにx+2で割ると4余る。
P(X)をx+2、(x+2)(x-1)のそれぞれで割ったときのあまりを求めなさい。
わからないので教えてください

118   じゅー  [id : 8TGeipW1] [2013-10-25(金) 06:20:23] 削除依頼

正解です

119   prime_132  [id : R7rYXwc0] [2013-10-26(土) 02:33:00] 削除依頼

>>116 [1]
 (P)⇒(Q)
 h(x) - f(x) = G(x) とおくと、G(x) はn-1次以下。
 ∴ ∫[-1,1] f(x)G(x)dx = 0,
 ∴ ∫[-1,1] {f(x)^2 + G(x)^2}dx = ∫[-1,1] h(x)^2 dx,

 (Q)⇒(P)
  kを任意の実数とする。
  f(x) + k・g(x) = H(x) とおくと、Hもn次モニック多項式。
  与式に代入して
  ∫[-1,1] f(x)^2 dx ≦ ∫[-1,1] H(x)^2 dx
       = ∫[-1,1] {f(x)+k・g(x)}^2 dx
       = ∫[-1,1] {f(x)^2 + 2k・f(x)g(x) + kk・g(x)^2}dx
 ∴ 0 ≦ 2k∫[-1,1] f(x)g(x)dx + kk∫[-1,1] g(x)^2 dx
 これが任意の実数kに対して成立つから、
  ∫[-1,1] f(x)g(x)dx = 0.

120   じゅー  [id : G4750rv0] [2013-10-26(土) 07:58:59] 削除依頼

>>119
正解です!

121   prime_132  [id : hC17k700] [2013-10-27(日) 07:52:16] 削除依頼

>>115

 f(x)*i + g(x) = h(x) とおく。題意より
 h(x+y) = h(x)h(y),
 h(x) = exp((a+b*i)x),
 f(x) = exp(ax)sin(bx),
 g(x) = exp(ax)cos(bx),

122   じゅー  [id : mqXqpgE/] [2013-10-28(月) 02:51:45] 削除依頼

>>121
h(x+y)=h(x)h(y)とhの連続性からhが指数関数であることがわかって
e^((a+bi)x)が実数変数の関数+実数変数の関数×i
の形で書けるので実部、虚部をとって、って感じですね!
定義域が実数でも複素数を値にとることは可能ですね…

123   じゅー  [id : U5dafmf.] [2013-12-17(火) 19:08:56] 削除依頼

次を満たす多項式の族を全て決定せよ。
・最高次係数が正。
・全ての自然数nに対し次数がnであるものを少なくとも1つ含む。
・可換。

124   prime_132  [id : HW3yUQsn] [2017-01-02(月) 07:02:20] 削除依頼

〔問題〕
f(x,y) は n次の同次多項式で、
 f(x,y) + f(x+y,z) = f(x,y+z) + f(y,z)
をみたす。f(x,y) を求めよ。
 (佐武一郎教授ご提出らしい。)

数セミ増刊「数学の問題」第2集、日本評論社(1978)、No.68


>>116 [1]
Legendre polynomials (を規格化したもの)


名前:

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1   ぱんぱす  [id : Ne66uKK.] [2013-08-04(日) 19:15:26] 削除依頼

知り合いの、イニシャルがK,Iの人が必ず
本戦勝ち抜いて合宿までは行くと思うから出場者のみなさんはよろしく

29   のびた  [id : 9WGIt/11] [2014-03-15(土) 11:27:29] 削除依頼


チューターって、去年かおととしの代表?
参加するだけで精いっぱいですが、よろしくお願いします

APMOが過去問より難くて死んだ
 

30   クロワッサン  [id : 44ZYQhH/] [2014-03-16(日) 19:41:46] 削除依頼

チューターは過去の代表です

自分も参加するだけで精一杯なんですが、よろしくお願いします

31   エム  [id : JClTt.31] [2015-10-27(火) 07:04:08] 削除依頼

こんにちは
数オリの本戦を通過したいんですが、
良い勉強法などはありますか?
あれば教えてください。

32   prime  [id : XYk2cR9.] [2015-12-24(木) 17:55:13] 削除依頼

いよいよ後20日

33   prime  [id : XYk2cR9.] [2015-12-24(木) 17:55:28] 削除依頼

いよいよ後20日

34     [id : xlh94iZ0] [2016-05-30(月) 17:23:02] 削除依頼

35     [id : 8Cxe3oGv] [2016-12-10(土) 21:16:48] 削除依頼

はい


名前:

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1   ケッキング  [id : D.Tj/cz.] [2008-08-08(金) 18:01:09] 削除依頼

高校の数学の勉強方法・問題解説して欲しい人何でも書いてください。
問題は出来れば数?・Aの問題が望ましいです。基礎・基本問題〜センター試験までOK

995   mems.Lag-eq  [id : /zgFJwe1] [2009-07-13(月) 07:00:05] 削除依頼

>>994
題意がつかめません...

996     [id : JKHInmw.] [2009-07-13(月) 13:59:08] 削除依頼

>990
すみません、例え話に出てきた
お二方を想像したら、思わず
笑ってしまいそうになりました^^;
もしかしたら最初から最後まで
支離滅裂なことをお尋ねしていた
のかもしれませんね。
今日はこれから時間がありますので
再度検討してみて、どうしても
分からないようでしたら
もう一度質問させていただこうかと思います

ありがとうございました。

997   関孝一  [id : E67VAWM/] [2009-07-14(火) 12:03:11] 削除依頼

次の問題の解答をお願いします。

nを2以上の整数として、1からnまでの数字が1つずつ書かれたカードがそれぞれ2枚ずつあります。
これら2n枚のカードから同時に3枚取り出すとき、取り出した3枚のカードの数字の最小値をXとします。
X=k(1=<k<=n)となる確立をPkとする。
(1) Pkを求めなさい。
(2) Xの期待値を求めなさい。

998   だるまにおん  [id : XS0UIDS.] [2009-07-14(火) 14:32:19] 削除依頼

>>997
解答は、問題集か何かに載っているのをご覧下さい。

999   関孝一  [id : xxLXZj/.] [2009-07-14(火) 15:00:02] 削除依頼

問題集からではありません。
解答がないのです。
どなたか教えてください。

1000   だるまにおん  [id : ] [2009-07-14(火) 16:20:45] 削除依頼

>>999
回答する側からしますと、何故解答も無いような粗末な教材で演習するのか不思議ですし、問題文だけ書いて無性に解答を知りたがるのも不自然な印象を受けます。
そもそも質問とは、自分で考えて、そのうえ解答を読んで熟考しても分らないところを、人に聞いて解決する営みです。貴方は自分で考えましたか?
さらに、最近は、模試のネタバレ問題を平気で質問する輩もいますから、なかなか安心して回答出来ないのです。この問題の出典は何ですか?
以上2点を明記頂ければ、回答します。続きは"数学の問題の質問はここ 2問目"にてお願いします。

1000☆

1001

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1   1  [id : bklqlcH/] [2008-03-25(火) 17:52:36] 削除依頼

工夫の必要な・珍しい積分計算…などを挙げていくスレッドです。

105   じゅー  [id : CU9yVMD/] [2014-01-23(木) 11:48:07] 削除依頼

>>102
∫[0,∞]log(1-e^(-tx))cosxdx
=-Σ[n=1,∞]1/n×∫[0,∞]e^(-ntx)cosxdx
=-1/tΣ[n=1,∞]1/(nn+(1/t)^2)
=t/2-π/2×coth(π/t)
両辺をtについて微分してt=1を代入する方法で最初作りました。

106   じゅー  [id : CU9yVMD/] [2014-01-23(木) 11:51:11] 削除依頼

出題です。

∫[0,∞]logx/(1+xx)dx=??
∫[0,∞]logx/(1+xxx)dx=???
∫[0,∞]logx/(1+x^4)dx=????
∫[0,∞]logx/(1+x^(√(2014/2013)))dx=???

107     [id : NsjaOZU/] [2014-07-24(木) 00:33:54] 削除依頼

みなさんはこういう問題をどこからひっぱってきているのですか?

108   じゅー  [id : 4br7syI.] [2014-07-31(木) 23:37:12] 削除依頼

出題です。
∫[-∞,∞] dx/( (x-e^x)^2 + π^2 ) = 1/( a+1 )
を示せ。
ここで a は方程式 xe^x=1 の唯一の実根。

109   prime_132  [id : 7fxwe.c1] [2016-05-12(木) 20:11:43] 削除依頼

>>106
(1) x=1/y とおくと
∫log(x)/(1+xx) dx = -∫log(y)/(1+yy) dy,
1/R<x<R、1/R<y<R で積分すると
∫[1/R, R] log(x)/(1+xx) dx = 0,
R→∞

(2) -(2/27)π^2

(3) -(1/8√2)π^2

110   ななし  [id : k98oPPc1] [2016-05-16(月) 18:18:51] 削除依頼

>>94
∫[0〜∞] sin(x^t)dx=Γ(1+1/t)sin(π/2t),
∫[0〜∞] cos(x^t)dx=Γ(1+1/t)cos(π/2t),

Inequalitybot [75]

111   ななし  [id : EJKMYLa.] [2016-05-18(水) 20:10:55] 削除依頼

>>108
a = 0.5671432904…を Omega constant と云うらしい。
(//MathWorld,Wolfram,com/ を参照.)


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1   1  [id : i-6abha821] [2007-03-12(月) 11:48:16] 削除依頼

数学の勉強法と参考書についてのスレッドです。

390   あばばばば  [id : 2Q1dpS8.] [2013-06-16(日) 10:26:18] 削除依頼

JJさん。1対1だけでも良いと思う。余裕があるなら両方やっても良いけど。あと、東京出版の独特な解説が肌に合わないなら青チャだけのほうがよい。1冊を繰り返して仕上がったら次の問題集にいこう。

391   ナナオ  [id : /rsFy/e0] [2013-06-22(土) 18:27:05] 削除依頼

そうだったんですか。
どこの学校の部活もトラブルは多々ありますからね。
逃げることも人生において凄く大事だとおもいますよ。
人生幸せにするために必要な要素の一つですからね。
我慢しすぎても辛いだけですからな。
実際私がそうだったから。
あばばばばさん、京大頑張って下さい。
私も遊びは控えます(泣)
受験と部活で好成績残すためにも控えないとね。
お互い、希望通りの大学に行けるといいな。

392   完璧  [id : a2JwT8/1] [2013-12-14(土) 21:02:43] 削除依頼

整数問題(因数分解・数列・方程式の整数解・等の問題を含む)であれば、
「整数問題事典(総合編・解答編)」(本の泉社)が最強でしょう。
教科書基礎から数学オリンピックの問題までを全て網羅している。
検索エンジンで「整数問題」で検索して見たら。

393     [id : ez-1wpXWRT1] [2013-12-15(日) 01:28:36] 削除依頼

高嶺の花みたいなのに手を出して、結局中途半端なまま棚を肥やすオチってのが最悪でしょ。

394   アドバイス  [id : vanLgWG0] [2013-12-16(月) 16:15:53] 削除依頼

棚に置いておいても、解らない整数問題に出くわした時に、
頼りになるのは大きいと思う。
例えば、東大・京大・阪大入試では1問が合否を分けて
しまう。何故なら、数学の1題の配点は大きいので。)
従って、合格出来ることを考えれば、安いと思う。

395   ななす  [id : ez-6ss2Prb.] [2014-02-26(水) 22:34:45] 削除依頼

マスターオブ整数 で良くない?

396     [id : wGoXsU51] [2014-03-04(火) 02:47:42] 削除依頼

>>395
俺もそれで十分だと思う
東大、京大レベルであっても

>>395>>395
この人いろんなサイトで宣伝しまくってるね
そんなに売れてないのかな…
必死すぎて怖いよ


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不等式 (1000)

1   1  [id : ez-ugMdJ7o1] [2007-01-19(金) 21:34:37] 削除依頼

不等式についてのスレッドです。

995   じゅー  [id : P9kXFs91] [2013-01-26(土) 20:38:12] 削除依頼

出題です。
x,y,zを異なる非負実数とするとき、
1/(x-y)²+1/(y-z)²+1/(z-x)²≧4/(xy+yz+zx)
を示せ。
また等号はいつ成立するか?


次スレ立てておきます。

996   prime_132  [id : wEbmjZ9.] [2013-01-27(日) 02:33:25] 削除依頼

>>995

x,y ≧ z としても一般性を失わない。
(左辺) = 1/(x-y)^2 + (x-y)^2/{(x-z)(y-z)}^2 + 2/{(x-z)(y-z)}
   ≧ 2/|(x-z)(y-z)| + 2/{(x-z)(y-z)}  (←相加・相乗平均)
    = 4/{(x-z)(y-z)}
   = 4/{(xy+yz+zx) - (2x+2y-z)z}
   ≧ 4/(xy+yz+zx),  (← 0≦z≦2x+2y)
   等号成立は、

※ x,y,zの差を固定して一斉に増加したとき、左辺は変わらず、右辺は減る。
  それを利用すると x、y>z=0 に帰着できる。

997   じゅー  [id : MsrFJxP.] [2013-02-06(水) 12:07:00] 削除依頼

>>996
正解ですーーー
上手ですね

998   ななし  [id : 6c01Y7Q.] [2013-03-09(土) 22:11:23] 削除依頼

次スレ
//www,casphy,com/bbs/test/read,cgi/highmath/1359202700/

999   ぬるぽ  [id : m91vgeT.] [2013-12-27(金) 22:08:04] 削除依頼

"The impossible dream"
   by Andy Williams

To dream the impossible dream
To fight the unbeatable foe
To bear with unbearable sorrow
To run where the brave dare not go.

To right the unrightable wrong
To be better far than you are
To try when your arms are too weary
To reach the unreachable star

This is my quest, to follow that star,
No matter how hopeless, no matter how far
To be willing to give when there's no more to give
To be willing to die so that honor and justice may live

And I know if I'll only be true to this glorious quest
That my heart will lie peaceful and calm when I'm laid to my rest

And the world will be better for this
That one man scorned and covered with scars
Still strove with his last ounce of courage
To reach the unreachable star.

1000   ぬるぽ  [id : ] [2013-12-31(火) 22:49:44] 削除依頼

>>999
 ホンダのCMにもありますた....

では皆様、よいお年を。

1001

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1     [id : i-7rqk0vy1] [2006-11-06(月) 17:21:39] 削除依頼

二つ目も終わったみたいなので、立てました。


協力お願いしますm(_ _)m

995   まみぃ☆  [id : IdJ0uyV.] [2007-05-01(火) 13:23:21] 削除依頼

わからない問題が何題かあるので教えてください!!m(_ _+)m

x^4+4ax^2+2a^2+1=0が実数解を持つようなaの値を求めよ

996   まみぃ☆  [id : IdJ0uyV.] [2007-05-01(火) 13:24:54] 削除依頼

これもお願いします。
(x+1)(x−3)(x+3)(x−9)+12x^2を因数分解せよ

997   まみぃ☆  [id : IdJ0uyV.] [2007-05-01(火) 13:28:10] 削除依頼

次のふたつの2次方程式が共通解を持つような実数a,bの値を求めよ

x^2+(2a-2)x+2a^2+3=0
x^2+(b-4)x+a+b=0

お願いします!!**

998   はい  [id : YtTOFg7/] [2007-05-01(火) 18:40:26] 削除依頼

円O上の点Pにおける円Oの接線と直線OPは垂直に交わることを証明せよ。

わかりません;;

999   はにわ  [id : Irb7zcx1] [2007-05-01(火) 20:00:19] 削除依頼

誰かお願いします(´・ω;`)

2次方程式 x2+2(2−a)x+1=0が異なる2つの虚数解を持つとき、
定数aの値の範囲を求めよ。

1000   1000  [id : ] [2007-05-01(火) 20:36:18] 削除依頼

>994
半径1の円Oに内接する正八角形を考える。この正八角形の周の長さをLをする。
正八角形の頂点のうち隣り合う2つの頂点を適当に選び、それらをA,Bとしたとき、△OABにおいて、
∠AOB=45°
よって
AB^2=1^2+1^2-2*1*1*cos∠AOB
   =2-√2
AB=√(2-√2)
L=8AB
 =8√(2-√2)
また、円Oの周の長さは2πであり、これはLよりも長いから
2π>L
>994√(2-√2)
π>994√(2-√2)=√(128-64√2)>√9.37>√9.3025=√(3.05^2)=3.05
∴π>994.05

1001

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1   サン  [id : ez-.UyazP/1] [2006-08-26(土) 03:58:06] 削除依頼

互いに問題を出し合いましょう!
自分は復習したいんで?、?、A、Bからお願いします。

995   だるまにおん  [id : JHHBl3O0] [2008-07-17(木) 00:35:44] 削除依頼

>>993
-2以下および2以上でしょうか。

996     [id : i-QCMHsbn.] [2008-07-17(木) 00:41:19] 削除依頼

>>995
他にもとる値があります。

997   だるまにおん  [id : JHHBl3O0] [2008-07-17(木) 00:50:32] 削除依頼

>>996
他にもとる値があるとすると、その値をkとして-2<k<2ですよね?
a+1/a=kが実数解を持つ。
⇒a^2-ak+1=0が実数解を持つ。
⇒D=k^2-4≧0
⇔k≦-2,2≦k
となって-2<k<2と矛盾してしまうのですが、どう考えれば良いのでしょうか?

998     [id : i-QCMHsbn.] [2008-07-17(木) 00:51:18] 削除依頼

>>994
最後の問題。
グラフの凸性から考えてa=b=cのとき16/3でしょうか。

999     [id : i-QCMHsbn.] [2008-07-17(木) 00:54:08] 削除依頼

>>997
すいません。問題が間違ってました。
次スレに載せときます。

1000   だるまにおん  [id : ] [2008-07-17(木) 00:57:01] 削除依頼

>>999
不正解です。

1001

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1   シクラメン  [id : jiaorwx1] [2006-04-28(金) 18:52:52] 削除依頼

高校一年です♪
数学の先生が説明の仕方分かりにくくて
分からないです。
親切な方教えてくださいm(__)m
また、分からないところがある人は
ここに書き込んでくださいm(__)m
分かる方は教えてください。
私も分かったら教えます。

基礎的なものも分からないところも
あると思うので、
みんなで助け合いましょう☆

995   だるまにおん  [id : hMD9I9R0] [2009-01-07(水) 00:01:08] 削除依頼


「数? 平方完成」というスレッドに苦言を書き込もうとしたら、なぜか書き込めなくて、もしかしてアク禁になったのかと焦って、このスレッドには投稿できるか実験してしまいました。残り少ないのに無意味な投稿をしてしまってごめんなさい。

>>991-992
2つ目の問題は、バームクーヘン積分を使わなくても、簡単に体積が求められますね。

>>991
すごく良い問題ですね。極めて非人道的ですが、回答せずにこのままどこかのスレッドで出題したい…

996   だるまにおん  [id : hMD9I9R0] [2009-01-07(水) 00:03:39] 削除依頼

>>995のはじめに書いてあることは>>995宛てです。ごめんなさい。

>>995
かぶってしまいました。ごめんなさい。

997   まー  [id : i-bq6LVx6/] [2009-01-07(水) 15:07:39] 削除依頼

だるまにおん先生

どこかとは難問掲示板でしょうか?

それでしたらお願いします

998   りんご  [id : AIkg6Jn1] [2009-01-07(水) 19:20:54] 削除依頼

6個の数字1,2,3,4,5,6かr重複を許して4個を取り出し、そ
れらを並べて4桁の整数をつくる。
千の位、百の位、十の位、一の位の数字を、それぞれa,b,
c,dとおく。次のような整数はそれぞれ何通りできるか。

1.a<d
2.a<b≦c<d

分からないので、教えて下さい!!

999   mems  [id : VfUOG0H0] [2009-01-07(水) 23:08:25] 削除依頼

>998
重複を許すということは、それぞれの桁に何を選ぼうとも他の桁の選び方には全く影響しないということです。即ち、各桁の選び方は6通り保証されています。

その中で、
1.a<dを満たすような組合わせは、a=1のとき5通り、a=2の時4通り、a=3の時3通り、...全部で5+4+3+2+1=15通りあります。あとはこの15通りに対して残り二桁にはそれぞれ6通りずつ選び方が保証されていますから、場合の数が求まります。

2.は条件が厳しくなりますが、基本的には1と同じだと思います。少なくともd-aが1以上でないといけないことに注意しましょう。


間違ってたらごめんなさい。

1000   りんご  [id : ] [2009-01-08(木) 14:51:34] 削除依頼

お返事ありがとうございます!!
ぜひ、参考にしてみます。

1001

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